בגרות קיץ 2026 מועד א׳ – וקטורים במרחב: פירמידה ABCSוקטורים 472 · שיעור 29
📄 נוסח השאלה
בסרטוט שלפניכם פירמידה ABCS. המקצוע AS מאונך למישור הבסיס ABC. הנקודה E היא אמצע המקצוע BS. הנקודה F נמצאת על המקצוע BC כך ש־BF = 23 BC.
נסמן: AB = u , AC = v , AS = w
א. הביעו באמצעות u, v ו־w את הווקטורים האלה: BC , BS , AE , AF.
נתון: ∢BAC = 120 מעלות, |u| = |v| = 6 , |w| = 8.
ב. חשבו את נפח הפירמידה.
📄 נוסח השאלה · המשך
ג. (1) מצאו את הערך של u · v. (2) הוכיחו כי AE מאונך ל־AF.
ד. (1) מצאו את הערך של |AF|. (2) חשבו את שטח המשולש EAF.
סעיף א – הבעת הווקטורים
הסרטוט בקנה מידה (מחושב מהנתונים של סעיף ב). הקווים המקווקווים הם מקצועות מוסתרים. בסגול: AE ו־AF.
הווקטור BC: הולכים מ־B ל־A ואז מ־A ל־C.
BC = BA + AC
📐 חיבור וקטורים (מעבר דרך נקודה)
BA = −AB = −u
📐 וקטור נגדי
נציב BA = −u , AC = v:
BC = −u + v
📐 חיבור וקטורים (מעבר דרך נקודה)
XY = XA + AY
📐 וקטור נגדי
BA = −AB
סעיף א – הבעת הווקטורים · המשך
BC = −u + v
הווקטור BS: מ־B ל־A ואז מ־A ל־S.
BS = BA + AS
📐 חיבור וקטורים (מעבר דרך נקודה)
נציב BA = −u , AS = w:
BS = −u + w
📐 וקטור נגדי
הווקטור AE: מ־A ל־B ואז מ־B ל־E. הנקודה E אמצע BS, ולכן BE הוא חצי מ־BS.
📐 חיבור וקטורים (מעבר דרך נקודה)
XY = XA + AY
📐 וקטור נגדי
BA = −AB
סעיף א – הבעת הווקטורים · המשך
הווקטור AE: מ־A ל־B ואז מ־B ל־E. הנקודה E אמצע BS, ולכן BE הוא חצי מ־BS.
AE = AB + BE
📐 חיבור וקטורים (מעבר דרך נקודה)
BE = 12BS = 12(−u + w)
📐 אמצע קטע
נציב AB = u , BE = 12(−u + w):
AE = u + 12(−u + w)
AE = u − 12u + 12w
📐 חיבור וקטורים (מעבר דרך נקודה)
XY = XA + AY
📐 אמצע קטע
BE = 12BS
סעיף א – הבעת הווקטורים · המשך
AE = u − 12u + 12w
AE = 12u + 12w
הווקטור AF: מ־A ל־B ואז מ־B ל־F. נתון BF = 23 BC ו־F על BC, ולכן BF = 23BC.
AF = AB + BF
📐 חיבור וקטורים (מעבר דרך נקודה)
BF = 23BC = 23(−u + v)
📐 נתון: חלוקת קטע
נציב AB = u , BF = 23(−u + v):
📐 חיבור וקטורים (מעבר דרך נקודה)
XY = XA + AY
📐 נתון: חלוקת קטע
BF = 23BC
סעיף א – הבעת הווקטורים · המשך
נציב AB = u , BF = 23(−u + v):
AF = u + 23(−u + v)
AF = u − 23u + 23v
מחשבים את המקדם של u: 1 − 23 = 13
AF = 13u + 23v
✅ פתרון סופי: BC = −u + v
BS = −u + w
AE = 12u + 12w
AF = 13u + 23v
BS = −u + w
AE = 12u + 12w
AF = 13u + 23v
סעיף ב – נפח הפירמידה
AS מאונך למישור הבסיס, ולכן AS הוא הגובה של הפירמידה: h = AS = |w| = 8. הבסיס הוא המשולש ABC (מודגש בתכלת).
שטח הבסיס – שתי צלעות והזווית שביניהן:
SABC = 12 · AB · AC · sin∢BAC
📐 שטח משולש
נציב AB = AC = 6 , ∢BAC = 120 מעלות:
SABC = 12 · 6 · 6 · sin120
sin120 = √32 ≈ 0.866
📐 שטח משולש
S = 12 · a · b · sin∢C
סעיף ב – נפח הפירמידה · המשך
sin120 = √32 ≈ 0.866
SABC = 18 · √32 = 9√3 ≈ 15.59
V = 13 · SABC · h
📐 נפח פירמידה
נציב SABC = 9√3 , h = 8:
V = 13 · 9√3 · 8
V = 72√33 = 24√3 ≈ 41.57
📐 נפח פירמידה
V = 13 · Sבסיס · h
סעיף ב – נפח הפירמידה · המשך
V = 72√33 = 24√3 ≈ 41.57
✅ פתרון סופי: V = 24√3 ≈ 41.57 יחידות נפח
סעיף ג (1) – המכפלה הסקלרית u · v
הזווית בין u ל־v היא הזווית BAC, כלומר 120 מעלות.
u · v = |u| · |v| · cos∢BAC
📐 מכפלה סקלרית
נציב |u| = |v| = 6 , ∢BAC = 120 מעלות:
u · v = 6 · 6 · cos120
cos120 = −12
u · v = 6 · 6 · (−12)
📐 מכפלה סקלרית
a · b = |a| · |b| · cos∢(a,b)
סעיף ג (1) – המכפלה הסקלרית u · v · המשך
u · v = 6 · 6 · (−12)
u · v = 36 · (−12) = −18
✅ פתרון סופי: u · v = −18
סעיף ג (2) – הוכחה ש־AE מאונך ל־AF
מספיק להראות שהמכפלה הסקלרית AE · AF שווה 0.
נתונים שנצטרך: AS מאונך למישור הבסיס, ולכן הוא מאונך לכל ישר בבסיס – גם ל־AB וגם ל־AC:
w · u = 0
📐 וקטורים מאונכים
w · v = 0
u · u = |u|2
📐 מכפלה של וקטור בעצמו
נציב |u| = 6:
📐 וקטורים מאונכים
a ⊥ b ⟺ a · b = 0
📐 מכפלה של וקטור בעצמו
a · a = |a|2
סעיף ג (2) – הוכחה ש־AE מאונך ל־AF · המשך
נציב |u| = 6:
u · u = 62 = 36
נציב את הביטויים מסעיף א ונפתח סוגריים (כל איבר כפול כל איבר):
AE · AF = (12u + 12w) · (13u + 23v)
📐 פתיחת סוגריים כפולים
AE · AF = 12·13 u·u + 12·23 u·v + 12·13 w·u + 12·23 w·v
AE · AF = 16 u·u + 13 u·v + 16 w·u + 13 w·v
📐 פתיחת סוגריים כפולים
(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
סעיף ג (2) – הוכחה ש־AE מאונך ל־AF · המשך
AE · AF = 16 u·u + 13 u·v + 16 w·u + 13 w·v
נציב u · u = 36 , u · v = −18 (סעיף ג1) , w · u = 0 , w · v = 0:
AE · AF = 16 · 36 + 13 · (−18) + 16 · 0 + 13 · 0
AE · AF = 6 − 6 + 0 + 0 = 0
AE · AF = 0
📐 וקטורים מאונכים
✅ פתרון סופי: המכפלה הסקלרית היא 0, ולכן AE ⊥ AF (הזווית EAF ישרה)
📐 וקטורים מאונכים
a · b = 0 ⟸ a ⊥ b
סעיף ד (1) – האורך של AF
אורך וקטור בריבוע = המכפלה הסקלרית שלו בעצמו:
|AF|2 = AF · AF = (13u + 23v)2
📐 אורך וקטור
|AF|2 = (13)2u2 + 2 · 13 · 23 u·v + (23)2v2
📐 נוסחת הכפל המקוצר
נציב u2 = v2 = 36 , u·v = −18:
|AF|2 = 19 · 36 + 49 · (−18) + 49 · 36
|AF|2 = 4 − 8 + 16 = 12
📐 אורך וקטור
|a|2 = a · a
📐 נוסחת הכפל המקוצר
(a + b)2 = a2 + 2a·b + b2
סעיף ד (1) – האורך של AF · המשך
|AF|2 = 4 − 8 + 16 = 12
|AF| = √12 = √4 · 3 = 2√3 ≈ 3.46
✅ פתרון סופי: AF = 2√3 ≈ 3.46
סעיף ד (2) – שטח המשולש EAF
בסעיף ג (2) הוכחנו שהזווית EAF ישרה, ולכן AE ו־AF הם הניצבים של המשולש. חסר לנו האורך של AE:
|AE|2 = (12u + 12w)2
📐 אורך וקטור
|AE|2 = (12)2u2 + 2 · 12 · 12 u·w + (12)2w2
📐 נוסחת הכפל המקוצר
נציב u2 = 36 , u·w = 0 (AS מאונך ל־AB) , w2 = 82 = 64:
|AE|2 = 14 · 36 + 12 · 0 + 14 · 64
|AE|2 = 9 + 0 + 16 = 25
📐 אורך וקטור
|a|2 = a · a
📐 נוסחת הכפל המקוצר
(a + b)2 = a2 + 2a·b + b2
סעיף ד (2) – שטח המשולש EAF · המשך
|AE|2 = 9 + 0 + 16 = 25
|AE| = √25 = 5
עכשיו שטח משולש ישר זווית – חצי מכפלת הניצבים:
SEAF = 12 · AE · AF
📐 שטח משולש ישר זווית
נציב AE = 5 , AF = 2√3:
SEAF = 12 · 5 · 2√3
📐 שטח משולש ישר זווית
S = ניצב · ניצב2
סעיף ד (2) – שטח המשולש EAF · המשך
SEAF = 12 · 5 · 2√3
SEAF = 5√3 ≈ 8.66
✅ פתרון סופי: SEAF = 5√3 ≈ 8.66 יחידות שטח
📌 סיכום התשובות
סעיף א
BC = −u + v
BS = −u + w
AE = 12u + 12w
AF = 13u + 23v
BS = −u + w
AE = 12u + 12w
AF = 13u + 23v
סעיף ב
V = 24√3 ≈ 41.57
סעיף ג (1)
u · v = −18
סעיף ג (2)
AE · AF = 0 ← מאונכים
סעיף ד (1)
AF = 2√3 ≈ 3.46
סעיף ד (2)
S = 5√3 ≈ 8.66
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא